数学思想

DawninShadow 2020-01-03 PM 1313℃ 0条

作为一个学渣,从初中以后数学就一直是不及格的存在,虽然只有很个别的时间里才能抓到那种思路涌现,天人合一的感觉,但我知道世界上一定存在这样一种东西能让你自然而然的找到问题的解法,而他们就藏在你过往的练习记忆中…

1. 寻找两个有序数组的中位数 ——边界处理

取两个有序数组组合后的中位数,首先要明白中位数的定义,找到某值,使左边的值都比它小,右边值都比它大,且两边元素个数相等.

所以最终我们要得到两个等量集合,集合中的元素由两个数组提供.且小数集合中最大的数比大数集合中最小的数小.

因为两数组总和固定,则集合数量固定(总数/2),且集合由两个数组构成,所以关注一个数组提供的数量既可. 从数组A提供0个元素给小数集合,A.length个元素给大数集合一直遍历到提供A.length给小数集合,0个元素给大数集合为止.

成立条件是什么呢? A提供给小数集合里最大的数比B提供给大数集合里最小的数小(其实也要满足 A提供给小数集合里最大的数比A提供给大数集合里最小的数小,但因为是有序数组的分割所以左边的数肯定小于右边的数),对与数组B同理.

不满足的时候我们就能根据具体条件判定割多了还是割少了,从而让切割点在数组上左右移动.

最终的结果就是A,B提供给小数集合里最大的元素中 比较大的元素,和A B提供给大数数组最小元素中 比较小的元素,相加除二.有几种特殊情况,就是割到某数组第一或最后元素的情况.

割到尾
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割到头
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割中间
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可见头尾时就会出现一个假想值,为了消除他们,在取最大最小值的时候就要做特殊处理:

  • 切在了短数组的最后一位,则短数组提供小的数为数组最后一个元素,大的数为假象值,要保证大的数不被取到,所以为无限大
  • 切在了短数组的弟一位,则短数组提供小的数为假想值,大的数为第一个元素,要保证假想值不被取到,所以为无限小

但是!!!!!! 我们要知道中位数不一定存在于数组之中,中位数的计算也是有奇偶两种计算方式,对与奇数数组划分中位数的时候是存在割到某个数上的情况,这时这个数同时属于左右两边,那么怎么解决奇偶问题呢,嗯,当然是乘2,任何数乘2 都为偶,以此就可以统一奇偶情况,然后再找到对应的还原方式就好了
大值为mCut/2取整 小值为(mCut-1)/2取整

      var findMedianSortedArrays = function(nums1, nums2) {
         var m = nums1.length,
            n = nums2.length;
            if(m>n){ //保持查询最小的
                return findMedianSortedArrays(nums2,nums1); 
            }
        var begin = 0 , end = 2*m; // 把原数组放大二倍可保证始终为偶
        var mCut ,nCut;
        var res;
        var nMin,nMax,mMin,mMax;
        while(begin<=end){//二分查找
            mCut = parseInt((begin+end) / 2); 
            nCut = (m+n) - mCut; // (m*2+n*2)/2-mCut实际应该为
            mMax =  (mCut != 2 * m) ? nums1[parseInt(mCut / 2)] : Number.MAX_VALUE; //切在了短数组的最后一位,则短数组提供小的数为数组最后一个元素,大的数为假象值,要保证大的数不被取到,所以为无限大
            mMin =  (mCut != 0) ? nums1[parseInt((mCut - 1) / 2)] : - Number.MAX_VALUE;//切在了短数组的弟一位,则短数组提供小的数为假想值,大的数为第一个元素,要保证假想值不被取到,所以为无限小
            nMax =  (nCut != 2 * n) ? nums2[parseInt(nCut / 2)] : Number.MAX_VALUE;
            nMin = (nCut != 0) ? nums2[parseInt((nCut - 1) / 2)] : - Number.MAX_VALUE;
            if(mMin>nMax){//跟进结果进行继续进行二分查找
                end = mCut-1;
            } else if(nMin>mMax){
                begin = mCut+1;
            }else{
                break;
            }
        }
        return (Math.min(mMax,nMax) + Math.max(nMin,mMin))/ 2
    };
  1. 最短无序连续子数组

接触到此题第一反应肯定是排序一下,然后用俩指针分别从首位开始逐个对比,获取到第一个不匹配的位置和最后一个,可行,但是不够好,时间复杂度肯定高.
那么是不是可以这样:

  1. 用一个指针从头开始对比,诸位判定是不是符合递增,如果不符合了,就记录当前值,然后从头再找一次它要插入的位置,这就是最终的子串起始位置.

仔细一想又不对,以为可能之后还有比这个值要小的数,所以应该全部查一遍,这时就会出现第一个值出现前比较的都是相邻两个元素,而第一个值出现后比较的就是当前最小值和当前遍历值..

  1. 这样的遍历无法判定子串的起始位置,因为后面的值永远有可能插入到更前面的位置…
  2. 等等,是不是有哪里好像不对,后面的值永远可能插入到更前面…也就是说我知道后面的值可不可能需要插入,那是不是只要遍历一次我就知道了最后一个需要插入的值.也就是结果子串的尾..
  3. 同理,反向遍历一次也就能获得要最后一个向后插入的值,也就是结果子串的头.

容易造成误解的地方在于我们会考虑是不是存在某种情况,把某个元素插入到了我们计算的边界之前,导致边界出错.但实质上这种考虑是多余的,因为所有插入或者替换的操作都是停留在我们的假象层面,实际数组是不变的,所以我们正向处理和反向处理之间不会产生影响.
时间复杂度O(n),空间复杂度O(1),简直完美...

var findUnsortedSubarray = function(nums) {
        var foot = nums.length - 1; //数组尾坐标
        var max = nums[0];
        var min = nums[foot];
        var start = 0, end = -1; // 结果为0时抵消+1
        for(var i=0;i<= foot;i++){
            if(max>nums[i]){
                end = i;
            }else{
                max = nums[i];
            }
            if(min<nums[foot - i ]){
                start = foot - i ;
            }else{
                min = nums[foot - i];
            }
        }
        return end-start + 1;
}
  1. 只出现一次的数字
    如果我们对 0 和二进制位做 XOR 运算,得到的仍然是这个二进制位

a ^ 0 = a
如果我们对相同的二进制位做 XOR 运算,返回的结果是 0

a ^ a = 0
XOR 满足交换律和结合律

a^b^a = (a^a)^b = 0^b = b
所以我们只需要将所有的数进行 XOR 操作,得到那个唯一的数字。

麻了,麻了...

var singleNumber = function(nums) {
    var res = 0;
    for(var i = 0;i<nums.length;i++){
        res ^=nums[i]
    }
    return res
};
  • 多数元素
    这个算法乍一看是很难懂的,其实很简单,我们不要想如何找到众数,因为未遍历的元素是不确定的,所以我们要反过来想,找到那些不是众数的元素,
var majorityElement = function(nums) {
    var data;
    var num = 0;
    for(var i=0; i<nums.length;i++){
        if(num == 0){
            data = nums[i]
        }
         nums[i] == data ? num++ : num--    
    }
    return data
};

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